2.3 Halbgruppen und Gruppen

Definiere eine Algebraische Struktur mit $n$ Verknüpfungen!

$(H, \circ)$ ist eine Halbgruppe $:\Leftrightarrow \; ?$

Die Halbgruppe $(H, \circ)$ ist kommutativ (abelsch) $:\Leftrightarrow \; ?$

Sei $(H, \circ)$ eine Halbgruppe.

$e \in H$ ist ein neutrales Element $:\Leftrightarrow \; ?$

Halbgruppe $(H, \circ)$ ist ein Monoid $:\Leftrightarrow \; ?$

Sei $(H, \circ)$ Monoid mit dem neutralen Element $e$.

$a \in H$ heißt invertierbar $:\Leftrightarrow \; ?$

$(G, \circ)$ ist eine Gruppe $:\Leftrightarrow \; ?$

$(G, \circ)$ ist kommutativ (abelsch) $:\Leftrightarrow \; ?$

$[a]$ ist prime Restklasse modulo $n \; (a$ und $n$ sind prim$) : \Leftrightarrow \; ?$

Die Ordnung des Elements $a$ ist definiert als?

$ord(a) = \; ?$

Gruppe $(G', \circ')$ ist Untergruppe der Gruppe $(G, \circ) :\Leftrightarrow \; ?$

Sei $(G, \circ)$ Gruppe und $(U, \circ)$ Untergruppe mit $U \subseteq G \land U \neq \emptyset$.

Nenne die Untergruppenkriterien!

Seien $(G_1, \circ_1)$ und $(G_2, \circ_2)$ Gruppen.

$f : G_1 \rightarrow G_2$ heißt Homomorphismus $:\Leftrightarrow \; ?$

Seien $(G_1, \circ_1)$ und $(G_2, \circ_2)$ Gruppen.

$(G_2, \circ_2)$ heißt homomorphes Bild von $(G_1, \circ_1) :\Leftrightarrow \; ?$

Seien $(G_1, \circ_1)$ und $(G_2, \circ_2)$ Gruppen.

$f : G_1 \rightarrow G_2$ heißt Isomorphismus $:\Leftrightarrow \; ?$

Definiere den Satz von Cayley!

Sei $(U, \circ)$ Untergruppe von $(G, \circ)$ und ist $G$ endlich.

Definiere den Satz von Lagrange!

Die Eulersche Funktion $\varphi(n) := \; ?$

Definiere den Satz von Fermat-Euler!