7.1 Vektoroperationen im zwei- und dreidimensionalen Raum

Betrag eines Vektors

Frage:

Nenne die Kurzschreibweise für den Betrag des Vektors $a$ und gib an, wie man diesen Betrag berechnet!

Antwort:

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Winkel zwischen zwei Vektoren

Frage:

Nenne die Kurzschreibweise für den Winkel zwischen den zwei Vektoren $a$ und $b$ und gib an, wie man diesen Winkel berechnet!

Antwort:

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Skalarprodukt

Frage:

Definiere das Skalarprodukt der Vektoren $a$ und $b$!

Antwort:

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Eigenschaften von Vektoren-Operationen

Frage:

Beschreibe die folgenden Eigenschaften für $+$ und $\cdot$ mit den Vektoren $a, b, c$ aus dem Vektorraum $V$ und dem Skalar $\lambda$ aus $\mathbb{R}$:

  • Kommutativität
  • gleichwertige Ausdrücke von $\lambda (a \cdot b) = \; ?$
  • Distributivität
  • $a \cdot a \begin{cases} = 0, & \text{falls ?} \\ \geq 0, & \text{falls ?} \end{cases}$

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$\angle(a, b) \land a \cdot b = 0$

Frage:

Wie groß ist der Winkel zwischen den Vektoren $a$ und $b$, wenn deren Skalaprodukt gleich Null ist?

Sei $a \cdot b = 0$, dann gilt $\angle(a, b) = \; ?$

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Betrag eines Vektors

Frage:

Wie lässt sich der Betrag des Vektors $a$ aus dem Vektorraum $V$ anders darstellen?

$\forall a \in V : |a| = \; ?$

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Ortogonalität

Frage:

 Die Vektoren $a$ und $b$ sind orthogonal zueinander $:\Leftrightarrow \; ?$

Nenne die Bezeichnung für die Ortogonalität von $a$ und $b$!

Antwort:

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Parrallelität

Frage:

 Die Vektoren $a$ und $b$ sind parallel zueinander $:\Leftrightarrow \; ?$

Nenne die Bezeichnung für die Parrallelität von $a$ und $b$!

Antwort:

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Normiertheit

Frage:

 Der Vektor $a$ ist normiert $:\Leftrightarrow \; ?$

Antwort:

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Ortogonalität einer Basis

Frage:

Die Basis $B$ des Vektorraums $V$ ist orthogonal $:\Leftrightarrow \; ?$

Antwort:

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Normiertheit einer Basis

Frage:

Die Basis $B$ des Vektorraums $V$ ist normiert $:\Leftrightarrow \; ?$

Antwort:

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Orthonormiertheit einer Basis

Frage:

Die Basis $B$ des Vektorraums $V$ ist orthonormiert $:\Leftrightarrow \; ?$

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Zerlegung eines Vektors in Parallel- und Normalkomponente

Frage:

Sei der Vektor $a \neq 0$ und der Vektor $b$ beliebig.
Wie berechnet man die Parallelkomponente $b'$ und Normalkomponente $b''$ zu $a$, wenn die folgenden Bedingungen gelten?

  • $b = b' + b''$
  • $b' \parallel a$
  • $b'' \perp a$

Antwort:

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Rechtsorientiertheit einer Basis (Rechte Hand-Regel)

Frage:

Die (geordnete) Basis $(b_1, b_2, b_3)$ ist rechtsorientiert (positiv orientiert) $\Leftrightarrow \; ?$

Antwort:

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Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Frage:

Definiere das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der Vektoren $a$ und $b$!

Gib die Berechnungsvorschrift für dieses Vektorprodukt an!

Antwort:

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Eigenschaften des Vektorprodukts

Frage:

Beschreibe die folgenden Eigenschaften des Vektorprodukts mit den Vektoren $a, b, c$ aus dem Vektorraum $V$ und dem Skalar $\lambda$ aus $\mathbb{R}$:

  • gleichwertiger Ausdruck für $a \times b = \; ?$
  • gleichwertige Ausdrücke von $\lambda (a \times b) = \; ?$
  • Distributivität für $a \times (b + c) = \; ?$
  • Distributivität für $(a + b) \times c = \; ?$

Antwort:

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Spatprodukt

Frage:

Definiere das Spatprodukt der Vektoren $a$ und $b$!

Antwort:

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Seien a,b,c

Frage:

Die quadratische Matrix $C$ heit orthogonal $:\Leftrightarrow \; ?$

Antwort:

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