Wie ist nach Euklid ein rechter Winkel definiert?
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Was bedeutet es, wenn Punkte und Geraden inzidieren?
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Wann wird eine Geometrie Inzidenzgeometrie genannt?
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Wann heißen zwei Geraden parallel zueinander?
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Beweise: In einer Inzidenzgeometrie haben zwei verschiedene Geraden max. 1 Punkt gemeinsam.
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Was sind die Voraussetzungen für eine angeordnete Ebene (bzw. angeordnete Inzidenz)?
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Wie ist eine Strecke definiert?
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Welche Eigenschaften muss ein angeordneter Körper erfüllen?
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Wie ist eine Totalordnung auf $M$ definiert?
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Wann liegen zwei Punkte auf derselben Seite von g?
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Wie ist ein Strahl definiert?
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Wie ist ein Winkel definiert?
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Was ist ein ...
... Nebenwinkel?
... Scheitelwinkel?
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Definition Fahne:
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Welche Axiome bzw. Geometrie wird mindestens benötigt, wenn mit Kongruenz gearbeitet wird?
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Wann heißt eine Relation zwischen zwei Strecken Kongruenz?
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Wann heißt ein Körper pythagoreisch?
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Wann gilt $AB<CD$?
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Wie ist der Kosinus von zwei Strecken definiert?
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Wann heißen zwei Dreiecke kongruent?
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Beweise: Scheitelwinkel sind kongruent zueinander. (Nebenwinkel bekannt)
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Seien $\alpha$ und $\beta$ zwei nichtentartete Winkel.
Wann sagen wir, dass $\alpha <\beta$?
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Wann heißt ein Winkel ein rechter, spitzer, stumpfer?
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Beweise: In einer Hilbert-Ebene gibt es zu jeder Geraden und jedem Punkt eine Gerade durch P, die parallel zu g ist.
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Wie ist ein Kreis definiert?
Was ist das Innere, Äußere und eine Tangente?
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Was macht das Kreisscheibenmodell von Poincaré aus? Welche besonderen Eingenschaften hat es?
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Beweise: In einer Hilbert-Ebene ist die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks gleich zwei Rechten.
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Beweise den Satz des Thales mithilfe des Zentriwinkelsatzes.
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Beweise den Peripheriewinkelsatz mithilfe des Zentriwinkelsatzes.
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Definition Sehnenviereck
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Beweise:
Sehnenviereck $\Leftrightarrow$ gegenüberliegende Innenwinkel zusammen 2R
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Wie nennt man eine Hilbert-Ebene, in der (AM) gilt?
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Eine Funktion $L: \{Strecken\}\longrightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ heißt Längenfunktion, wenn:
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Was ist ein dedekindscher Schnitt?
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Eine Funktion $w: \{Winkel\}\longrightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ heißt Winkelfunktion, wenn
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Was ist eine Bewegung?
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$\sigma_a \sigma_b (P)=P\Leftrightarrow $
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Was ist eine Drehung im eigentlichen Sinne?
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Was ist eine Translation im eigentlichen Sinne?
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Was ist eine Gleitspiegelung?
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In einer Hilbert-Ebene mit (P) ist jede Bewegung eine Drehung um einen Punkt, eine Translation, eine Spiegelung oder eine Gleitspiegelung.
Welche Abbildung ist als einzige nicht genau eines davon?
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Wann heißen zwei Fahnen gleichorientiert?
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1. Strahlensatz
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2. Strahlensatz
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Wie ist Ähnlichkeit definiert?
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Wie ist die zentrische Streckung definiert?
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Beweise: Jede Ähnlichkeit kann als Hintereinanderausführung einer zentrischen Streckung und einer Bewegung beschrieben werden.
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Beweise den Ähnlichkeitssatz WWW.
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Wie beweist man leicht die Satzgruppe des Pythagoras?
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Wann heißt ein Körper Koordinatenkörper?
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Woraus besteht ein Koordinatensystem?
Wann nennt man dieses kartesisch?
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Seien E und E' zwei Hilbert-Ebenen. Ein Isomorphismus von E nach E' ist eine bijektive Abbildung $\varphi:\mathbb{P}\longrightarrow\mathbb{P}$, sodass für alle Punkte gilt:
(1)
(2)
(3)
(4)
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Wann heißt eine Ebene isomorph zu einer anderen?
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In einer Hilbert-Ebene mit (P) gibt es zwischen zwei Punkten genau eine Translation, die den einen auf den anderen abbildet.
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Sei $r\in K, \ r\neq 0$ und sei $O$ der Koordinatenursprung. Dann ist $\delta_{O,r}=rP$.
Sei außerdem $b\in K^2$, dann gilt ...
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Was ist ein affiner Raum?
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Wie ist ein Koordinatensystem eines affinen Raums definiert?
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Definition affiner Unterraum
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Was sind homogene Koordinaten? Wie sehen die aus?
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Wann heißen Punkte affin unabhängig?
Wann spricht man von einer Affinkombination?
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Was ist eine Isometrie?
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Welche Matrizen beinhaltet die orthogonale Gruppe O und die spezielle orthogonale Gruppe SO?
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Die Drehung um den Nullpunkt und den Winkel $\alpha$ wird durch die Matrix
...
beschrieben.
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Sei $f$ eine Bewegung in der Ebene. Dann gilt:
$A=E\Longrightarrow$
$det(A)=1,\ A\neq E\Longrightarrow$
$det(A)=-1$ und $(E-A)x=b$ lösbar $\Longrightarrow$
$det(A)=-1$ und $(E-A)x=b$ nicht lösbar $\Longrightarrow$
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Definition geradlinig begrenzte Figur
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Definition zerlegungs- und ergänzungsgleich.
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Eine Flächeninhaltsfunktion erfüllt folgende Merkmale:
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In einer Hilbert-Ebene mit (P) und (AM) gilt: Zwei geradlinig begrenzte Figuren sind genau dann zerlegungsgleich, wenn ..
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Welche Aussage kann man über Parallelen in projektiven Ebenen machen?
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Wie ist eine projektive Ebene definiert?
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Was ist eine duale Ebene?
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Was ist eine Zentralprojektion?
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Was ist eine Parallelprojektion?
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Was ist ein n-dimensionaler projektiver Raum?
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Was ist eine projektive Abbildung?
Was ist eine Projektivität (bzw. projektive Transformation)?
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Eine Menge von mindestens n+1 Punkten in $\mathbb{P}_n(K)$ heißt in allgemeiner Lage, wenn
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