Skript

Rechter Winkel

Frage:

Wie ist nach Euklid ein rechter Winkel definiert? 

Antwort:

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Inzidenz

Frage:

Was bedeutet es, wenn Punkte und Geraden inzidieren? 

Antwort:

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Inzidenzgeometrie

Frage:

Wann wird eine Geometrie Inzidenzgeometrie genannt? 

Antwort:

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Parallel

Frage:

Wann heißen zwei Geraden parallel zueinander? 

Antwort:

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Schnittpunkt

Frage:

Beweise: In einer Inzidenzgeometrie haben zwei verschiedene Geraden max. 1 Punkt gemeinsam. 

Antwort:

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Angeordnete Ebene

Frage:

Was sind die Voraussetzungen für eine angeordnete Ebene (bzw. angeordnete Inzidenz)? 

Antwort:

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Strecke

Frage:

Wie ist eine Strecke definiert? 

Antwort:

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Angeordneter Körper

Frage:

Welche Eigenschaften muss ein angeordneter Körper erfüllen? 

Antwort:

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Totalordnung

Frage:

Wie ist eine Totalordnung auf $M$ definiert? 

Antwort:

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Auf derselben Seite

Frage:

Wann liegen zwei Punkte auf derselben Seite von g? 

Antwort:

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Strahl

Frage:

Wie ist ein Strahl definiert? 

Antwort:

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Winkel

Frage:

Wie ist ein Winkel definiert? 

Antwort:

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Nebenwinkel, Scheitelwinkel

Frage:

Was ist ein ...

... Nebenwinkel?

... Scheitelwinkel? 

Antwort:

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Fahne

Frage:

Definition Fahne: 

Antwort:

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Kongruenz

Frage:

Welche Axiome bzw. Geometrie wird mindestens benötigt, wenn mit Kongruenz gearbeitet wird? 

Antwort:

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Kongruenz von Strecken

Frage:

Wann heißt eine Relation zwischen zwei Strecken Kongruenz?

Antwort:

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Pythagoreischer Körper

Frage:

Wann heißt ein Körper pythagoreisch? 

Antwort:

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Größenvergleich von Strecken

Frage:

Wann gilt $AB<CD$? 

Antwort:

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Kosinus

Frage:

Wie ist der Kosinus von zwei Strecken definiert? 

Antwort:

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Kongruenz von Dreiecken

Frage:

Wann heißen zwei Dreiecke kongruent? 

Antwort:

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Scheitelwinkel

Frage:

 Beweise: Scheitelwinkel sind kongruent zueinander. (Nebenwinkel bekannt)

Antwort:

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Vergleich von Winkeln

Frage:

Seien $\alpha$ und $\beta$ zwei nichtentartete Winkel.

Wann sagen wir, dass $\alpha <\beta$? 

Antwort:

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Rechter, spitzer, stumpfer Winkel

Frage:

Wann heißt ein Winkel ein rechter, spitzer, stumpfer? 

Antwort:

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Existenz von Parallelen

Frage:

Beweise: In einer Hilbert-Ebene gibt es zu jeder Geraden und jedem Punkt eine Gerade durch P, die parallel zu g ist. 

Antwort:

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Kreis, Tangente

Frage:

Wie ist ein Kreis definiert?

Was ist das Innere, Äußere und eine Tangente? 

Antwort:

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Kreisscheibenmodell

Frage:

Was macht das Kreisscheibenmodell von Poincaré aus? Welche besonderen Eingenschaften hat es? 

Antwort:

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Innenwinkelsumme

Frage:

Beweise: In einer Hilbert-Ebene ist die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks gleich zwei Rechten. 

Antwort:

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Thales

Frage:

Beweise den Satz des Thales mithilfe des Zentriwinkelsatzes. 

Antwort:

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Peripheriewinkel

Frage:

Beweise den Peripheriewinkelsatz mithilfe des Zentriwinkelsatzes. 

Antwort:

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Sehnenviereck

Frage:

Definition Sehnenviereck 

Antwort:

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Sehnenviereck Bew

Frage:

Beweise:

Sehnenviereck $\Leftrightarrow$ gegenüberliegende Innenwinkel zusammen 2R 

Antwort:

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Hilbert + AM

Frage:

Wie nennt man eine Hilbert-Ebene, in der (AM) gilt? 

Antwort:

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Längenfunktion

Frage:

Eine Funktion $L: \{Strecken\}\longrightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ heißt Längenfunktion, wenn: 

Antwort:

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Dedekindscher Schnitt

Frage:

Was ist ein dedekindscher Schnitt? 

Antwort:

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Winkelmaß

Frage:

Eine Funktion $w: \{Winkel\}\longrightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ heißt Winkelfunktion, wenn 

Antwort:

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Bewegung

Frage:

Was ist eine Bewegung? 

Antwort:

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Geradenspiegelung

Frage:

$\sigma_a \sigma_b (P)=P\Leftrightarrow $

Antwort:

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Drehung

Frage:

Was ist eine Drehung im eigentlichen Sinne? 

Antwort:

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Translation

Frage:

Was ist eine Translation im eigentlichen Sinne? 

Antwort:

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Gleitspiegelung

Frage:

Was ist eine Gleitspiegelung? 

Antwort:

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Kor Bewegung

Frage:

 

In einer Hilbert-Ebene mit (P) ist jede Bewegung eine Drehung um einen Punkt, eine Translation, eine Spiegelung oder eine Gleitspiegelung.

Welche Abbildung ist als einzige nicht genau eines davon? 

Antwort:

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Orientiertheit von Fahnen

Frage:

Wann heißen zwei Fahnen gleichorientiert? 

Antwort:

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1. Strahlensatz

Frage:

1. Strahlensatz 

Antwort:

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2. Strahlensatz

Frage:

2. Strahlensatz 

Antwort:

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Ähnlichkeit

Frage:

Wie ist Ähnlichkeit definiert? 

Antwort:

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Zentrische Streckung

Frage:

Wie ist die zentrische Streckung definiert? 

Antwort:

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Satz

Frage:

Beweise: Jede Ähnlichkeit kann als Hintereinanderausführung einer zentrischen Streckung und einer Bewegung beschrieben werden. 

Antwort:

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WWW

Frage:

Beweise den Ähnlichkeitssatz WWW.

Antwort:

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Satzgruppe des Pythagoras

Frage:

Wie beweist man leicht die Satzgruppe des Pythagoras? 

Antwort:

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Koordinatenkörper

Frage:

Wann heißt ein Körper Koordinatenkörper? 

Antwort:

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Kartesische Koordinaten

Frage:

Woraus besteht ein Koordinatensystem?

Wann nennt man dieses kartesisch? 

Antwort:

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Isomorphie

Frage:

Seien E und E' zwei Hilbert-Ebenen. Ein Isomorphismus von E nach E' ist eine bijektive Abbildung $\varphi:\mathbb{P}\longrightarrow\mathbb{P}$, sodass für alle Punkte gilt:

(1)
(2)
(3)
 (4) 

Antwort:

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Kor

Frage:

Wann heißt eine Ebene isomorph zu einer anderen? 

Antwort:

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Lemma

Frage:

In einer Hilbert-Ebene mit (P) gibt es zwischen zwei Punkten genau eine Translation, die den einen auf den anderen abbildet. 

Antwort:

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Streckungen und Koordinaten

Frage:

Sei $r\in K, \ r\neq 0$ und sei $O$ der Koordinatenursprung. Dann ist $\delta_{O,r}=rP$.

Sei außerdem $b\in K^2$, dann gilt ... 

Antwort:

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Affiner Raum

Frage:

Was ist ein affiner Raum? 

Antwort:

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Koordinatensystem affiner Raum

Frage:

Wie ist ein Koordinatensystem eines affinen Raums definiert? 

Antwort:

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Affiner Unterraum

Frage:

Definition affiner Unterraum

Antwort:

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Homogene Koordinaten

Frage:

Was sind homogene Koordinaten? Wie sehen die aus? 

Antwort:

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Affinität

Frage:

Wann heißen Punkte affin unabhängig?

Wann spricht man von einer Affinkombination? 

Antwort:

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Isometrie

Frage:

Was ist eine Isometrie? 

Antwort:

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O und SO

Frage:

Welche Matrizen beinhaltet die orthogonale Gruppe O und die spezielle orthogonale Gruppe SO? 

Antwort:

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Drehungen in R^2

Frage:

Die Drehung um den Nullpunkt und den Winkel $\alpha$ wird durch die Matrix

...

beschrieben.

Antwort:

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Abbildungen

Frage:

Sei $f$ eine Bewegung in der Ebene. Dann gilt:

$A=E\Longrightarrow$

$det(A)=1,\ A\neq E\Longrightarrow$

$det(A)=-1$ und $(E-A)x=b$ lösbar $\Longrightarrow$

$det(A)=-1$ und $(E-A)x=b$ nicht lösbar $\Longrightarrow$

Antwort:

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Geradlinig begrenzte Figur

Frage:

Definition geradlinig begrenzte Figur 

Antwort:

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Zerlegungsgleich, Ergänzungsgleich

Frage:

Definition zerlegungs- und ergänzungsgleich. 

Antwort:

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Flächeninhalt

Frage:

Eine Flächeninhaltsfunktion erfüllt folgende Merkmale:

 

Antwort:

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Bolyai-Gerwin

Frage:

In einer Hilbert-Ebene mit (P) und (AM) gilt: Zwei geradlinig begrenzte Figuren sind genau dann zerlegungsgleich, wenn .. 

Antwort:

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Projektive Geometrie

Frage:

Welche Aussage kann man über Parallelen in projektiven Ebenen machen? 

Antwort:

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Projektive Ebene Def

Frage:

Wie ist eine projektive Ebene definiert? 

Antwort:

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Dualität

Frage:

Was ist eine duale Ebene? 

Antwort:

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Def Zentralprojektion

Frage:

Was ist eine Zentralprojektion? 

Antwort:

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Def Parallelprojektion

Frage:

Was ist eine Parallelprojektion? 

Antwort:

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n-dim projektiver Raum

Frage:

Was ist ein n-dimensionaler projektiver Raum? 

Antwort:

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Projektive Abbildung

Frage:

Was ist eine projektive Abbildung?

Was ist eine Projektivität (bzw. projektive Transformation)?

Antwort:

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allg. Lage

Frage:

Eine Menge von mindestens n+1 Punkten in $\mathbb{P}_n(K)$ heißt in allgemeiner Lage, wenn 

Antwort:

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