2 Strukturen der Algebra - Halbgruppen und Gruppen I

Wie ist eine Algebraische Struktur mit $n$-Verknüpfungen definiert? 

Wie ist eine Halbgruppe definiert? 

$(H,\circ)$ ist kommutativ (abelsch) :$\Leftrightarrow$ 

$e \in H$ neutrales Element  :$\Leftrightarrow$ 

$(H, \circ)$ Monoid :$\Leftrightarrow$  

$a \in H$ invertierbar $:\Leftrightarrow$ 

($H$ ist Monoid)

Wie ist eine Gruppe definiert? 

$(G,\circ)$ ist kommutativ (abelsch) $:\Leftrightarrow$ 

$\lbrack a \rbrack$ prime Restklasse modulo $n$ ($a$ und $n$ sind prim) $:\Leftrightarrow$