10. Funktionsreihen

Definiere eine Funktionenreihe (formal)

Definiere die n-te Partialsumme einer Reihe.

Eine Reihe heisst punktweise Konvergent in I mit der Summenfunktion s(x), wenn

Wann ist eine Reihe gleichmäßig Konvergent?

Kriterium von Weierstraß?

Stetigkeit der Summenfunktion?

Gliedweise Integration?

Gliedweise Differentiation?

Potenzreihe?

Potenzreihe konvergiert und divergiert

Formel von Cauchy-Hadamard 

$s(x)$ ist beliebig oft differenzierbar in $\left(x_{0}-r, x_{0}+r\right)$

$s(x)$ ist integrierbar über jedem endlichen und abgeschlossenen Teilintervall von $\left(x_{0}-r, x_{0}+r\right)$

Wie sieht die Funktion aus?

Eindeutigkeit der Potenzreihendarstellung 

Satz 10.5 Die Potenzreihe
(1) besitze im Intervall $\left(x_{0}-r, x_{0}+r\right)$ mit $r>0$ die Summenfunktion
$s(x) .$

Wichtige Potenzreihen

Trigonometrisches Polynom?

Summe einer gleichmäßig konvergenten Fourierreihe im Intervall [a,a+T]

Skalarprodukt furious

$f(x)$ sei in $[a, a+T]$ Summe der gleichmäfig konvergenten Reihe. Dann gelten für
die Fourierkoeffizienten $a_{n}$ und $b_{n}$ die Formeln 

Für die Funktion $f(x)$ im Intervall $[a,a+T]$ seien die folgenden Dirichletschen Bedin-gungenerfüllt: 

Ist $f(x)$ gerade, dann hat die Fourierreihe die Form 

Ist $f(x)$ ungerade, dann hat die Fourierreihe die Form