1.1 - Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume

Definition: Diskreter W.raum

Frage:

Definition: Diskreter W.raum (Wahrscheinlichkeitsraum) 

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Bemerkung: Umgang mit Summen

Frage:

 Eine Summe der Form $\sum_{\omega \in A} f(\omega)$ (A abzählbar) berechnen wir, ...

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Bezeichnungen

Frage:

Es seien $\omega \in \Omega$ und $A \in \mathfrak{P}(\Omega)$.
Was bedeutet:

 $\Omega$, $\omega$, $f(\omega)$, $f$, $A$, $\mathbb{P}(A)$, $\mathbb{P}$, $\{\omega\}$
$\mathbb{P}(\{\omega\}) = f(\omega)$, sicheres Ereignis, unmögliches Ereignis, $A$ tritt ein, $A$ tritt nicht ein

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Bemerkung: Gleichverteilung

Frage:

 Ist $\Omega \neq \emptyset$ endlich und gilt $f(\omega) = \frac{1}{|\Omega |}$ für alle $\omega \in \Omega$, so heißt die zugehörige W.verteilung P (diskrete) Gleichverteilung auf $\Omega$, kurz $\mathfrak{U}_{\Omega}$. In diesem Fall gilt:

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Rechenoperationen und Rechenregeln für Mengen

Frage:

Es gelten die üblichen Rechenregeln: 

Antwort:

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Satz: Eigenschaften von W.maßen

Frage:

Für jede diskreten W.raum $(\Omega, \mathfrak{P}(\Omega), \mathbb{P})$ gilt: 

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Lemma: Charakterisierung der σ-Additivität

Frage:

Es sei $\Omega \neq \emptyset$ eine nicht-leere Menge und $\mathbb{P}:\mathfrak{P}(\Omega) \rightarrow \mathbb{R}$ eine Abbildung mit den Eigenschaften:

$\forall A \in \mathfrak{P}(\Omega): \mathbb{P}(A) \geq 0$
$\mathbb{P}(\Omega) = 1$
$\forall A_1,...,A_n \in \mathfrak{P}(\Omega):A_1,...,A_n \text{ paarweise disjunkt } \Rightarrow \mathbb{P}(\bigcup_{i=1}^n A_i) = \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i)$

Dann sind äquivalent: 

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Geordnete Stichproben mit Wiederholung

Frage:

Aus einer Menge mit n Elementen ( o. E. $\{1,...,n\}$) wird k-mal ein Element ausgewählt. Wie viele Möglichkeiten gibt es bei geordneten Stichproben mit Wiederholung? 
(Variation mit Wiederholung)

Antwort:

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Geordnete Stichproben ohne Wiederholung

Frage:

 Aus einer Menge mit n Elementen ( o. E. $\{1,...,n\}$) wird k-mal ein Element ausgewählt. Wie viele Möglichkeiten gibt es bei geordneten Stichproben ohne Wiederholung?
(Variation ohne Wiederholung)

Antwort:

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Ungeordnete Stichproben ohne Wiederholung

Frage:

Aus einer Menge mit n Elementen ( o. E. $\{1,...,n\}$) wird k-mal ein Element ausgewählt. Wie viele Möglichkeiten gibt es bei ungeordneten Stichproben ohne Wiederholung?
(Kombination ohne Wiederholung) 

Antwort:

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Ungeordnete Stichproben mit Wiederholung

Frage:

Aus einer Menge mit n Elementen ( o. E. $\{1,...,n\}$) wird k-mal ein Element ausgewählt. Wie viele Möglichkeiten gibt es bei ungeordneten Stichproben mit Wiederholung?
(Kombination mit Wiederholung)  

Antwort:

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